data () {
        return{
            name: ""
        }
    },
    beforeRouteUpdate(to, from, next) {
        this.name = to.query.search_query
        next()
    },
    mounted() {
        this.name = this.$route.query.search_query
    },

search_queryのクエりの取得方法は、最初のnameをmounted()から取得し、次回のsearch_queryのクエりをbeforeRouteUpdateから取得する。

Watchで取得する方法

watch: {
'$route.query.search_query': {
            handler(newVal) {
                this.query = newVal
                //console.log(this.query)
            },
            immediate: true
        }
}